Vp150 Ch. 11

动量定义与动能关系（Slide 3）#

$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$

• 单位： $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ 或 $\text{N}\cdot\text{s}$

牛顿第二定律动量形式（Slide 3 & 5）#

$\mathbf{F}_{\text{net}} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt}$

冲量与动量定理（Slide 5 & 7）#

• 微元冲量： $d\mathbf{p} = \mathbf{F}_{\text{net}} dt$
• 总冲量线积分（$F-t$ 图像下的面积）： $\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{\text{net}} dt = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1$
• 等效平均力（Average Force）表示： $\mathbf{J} = \mathbf{F}_{\text{av}} (t_2 - t_1) = \mathbf{F}_{\text{av}} \Delta t \implies \mathbf{F}_{\text{av}} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t}$

网球反弹平均力求解（Slide 9，一维，初速 $-3\beta$，末速 $2\beta$）#

$\Delta p_x = m(v_{x,2} - v_{x,1}) = m[2\beta - (-3\beta)] = 5m\beta$ $F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{5m\beta}{\Delta t}$

斜向碰撞平均力分解求解（Slide 10，二维分解）#

• $x$ 轴方向： $F_{\text{avg},x} = \frac{m[v_0 \cos\alpha - (-v_0)]}{\Delta t} = \frac{mv_0(\cos\alpha + 1)}{\Delta t}$
• $y$ 轴方向： $F_{\text{avg},y} = \frac{m(v_0 \sin\alpha - 0)}{\Delta t} = \frac{mv_0 \sin\alpha}{\Delta t}$
• 合平均力大小： $F_{\text{avg}} = \sqrt{F_{\text{avg},x}^2 + F_{\text{avg},y}^2} = \frac{mv_0}{\Delta t} \sqrt{2(1 + \cos\alpha)}$

制动时间与制动距离的数学关系（Slide 12 & 13）#

在恒定阻力 $F_{\text{avg}}$ 作用下：

• 制动时间（由动量决定）： $\Delta t = \frac{\Delta p}{F_{\text{avg}}} = \frac{mv}{F_{\text{avg}}} \propto m \cdot v$
• 制动距离（由动能决定）： $D = \frac{\Delta K}{F_{\text{avg}}} = \frac{mv^2}{2 F_{\text{avg}}} \propto m \cdot v^2$

动量守恒定律（Slide 14 & 16）#

对于 $N$ 个质点组成的孤立系统： $\frac{d\mathbf{p}_{\text{Total}}}{dt} = \mathbf{0} \implies \mathbf{p}_{\text{Total}} = \sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i = \text{常数 (Constant)}$

二维碰撞动量守恒分量方程（Slide 19 & 20）#

设 $m_2$ 初始静止（$v_2 = 0$）：

• $x$ 轴方向： $m_1 v_1 = m_1 v'_1 \cos\alpha + m_2 v'_2 \cos\beta$
• $y$ 轴方向： $0 = m_1 v'_1 \sin\alpha + m_2 v'_2 \sin\beta \implies v'_2 = -\frac{m_1 v'_1 \sin\alpha}{m_2 \sin\beta}$
• 散射角关系： $\tan\beta = -\frac{v'_1 \sin\alpha}{v_1 - v'_1 \cos\alpha}$

$m_1 = m_2$ 完全弹性碰撞垂直角推导（Slide 22）#

• 动量矢量方程（消去相同质量 $m$）： $\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}'_1 + \mathbf{v}'_2$
• 对矢量方程自乘点积： $v_1^2 = \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 = (\mathbf{v}'_1 + \mathbf{v}'_2) \cdot (\mathbf{v}'_1 + \mathbf{v}'_2) = {v'_1}^2 + {v'_2}^2 + 2 (\mathbf{v}'_1 \cdot \mathbf{v}'_2)$
• 动能守恒方程（消去 $\frac{1}{2}m$）： $v_1^2 = {v'_1}^2 + {v'_2}^2$
• 对比两式得： $2 (\mathbf{v}'_1 \cdot \mathbf{v}'_2) = 0 \implies \mathbf{v}'_1 \cdot \mathbf{v}'_2 = 0 \iff \mathbf{v}'_1 \perp \mathbf{v}'_2 \quad (\theta = 90^\circ)$

能量变化判据（Slide 27）#

定义能量关系式 $K_{\text{before}} + Q = K'_{\text{after}} \implies Q = K' - K$：

• 弹性碰撞： $Q = 0 \iff K' = K$
• 超级弹性碰撞： $Q > 0 \iff K' > K$
• 非弹性碰撞： $Q < 0 \iff K' < K$
• 完全非弹性碰撞： $Q < 0$ 且碰撞后两物体速度相同（$\mathbf{v}'_A = \mathbf{v}'_B = \mathbf{v}_{AB}$）

完全非弹性碰撞的共同速度公式（Slide 32）#

由动量守恒 $(m_A + m_B)\mathbf{v}_{AB} = m_A \mathbf{v}_A + m_B \mathbf{v}_B$： $\mathbf{v}_{AB} = \frac{m_A \mathbf{v}_A + m_B \mathbf{v}_B}{m_A + m_B}$

完全非弹性碰撞（$m_B$ 初始静止 $v_B = 0$）末动能推导（Slide 34 - 36）#

• 共同速度： $v_{AB} = \frac{m_A}{m_A + m_B} v_A$
• 碰撞后末动能： $K_{\text{after}} = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v_{AB}^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) \left( \frac{m_A v_A}{m_A + m_B} \right)^2 = \frac{m_A}{m_A + m_B} \left( \frac{1}{2} m_A v_A^2 \right)$
• 末动能与初动能比例关系： $K_{\text{after}} = \left( \frac{m_A}{m_A + m_B} \right) K_{\text{before}}$

一维弹性碰撞通用联立方程（Slide 43 - 45）#

• 动量守恒： $m_A v_A + m_B v_B = m_A v'_A + m_B v'_B \implies m_A (v_A - v'_A) = m_B (v'_B - v_B)$
• 动能守恒： $m_A v_A^2 + m_B v_B^2 = m_A {v'_A}^2 + m_B {v'_B}^2 \implies m_A (v_A^2 - {v'_A}^2) = m_B ({v'_B}^2 - v_B^2)$
• 两式相除得速度和等式： $v_A + v'_A = v_B + v'_B$

$m_B$ 初始静止（$v_B = 0$）时的解（Slide 46）#

代入 $v_B = 0$ 解得碰撞后各自速度：

• 入射物体 $A$ 的末速度： $v'_A = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) v_A$
• 被撞物体 $B$ 的末速度：
  $v'_B = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v_A$

墙壁获得动能与小球动能比例的极限推导（Slide 49）#

墙壁质量 $m_w \gg m$，墙壁获得的动量 $p_w = \Delta p = 2mv$： $K_w = \frac{1}{2} m_w v_w^2 = \frac{p_w^2}{2 m_w} = \frac{(2mv)^2}{2 m_w} = \frac{4 m^2 v^2}{2 m_w} = \frac{2 m}{m_w} \left(\frac{1}{2} m v^2\right) = \left(\frac{2m}{m_w}\right) K_b$

• 动能比例关系： $\frac{K_w}{K_b} = \frac{2m}{m_w} \ll 1 \quad (\text{当 } m_w \gg m \text{ 时趋近于 } 0)$

离散与连续系统的质心公式（Slide 52）#

• 离散质点系（$N$ 个质点）： $\mathbf{R}_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{M} = \frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{\sum m_i}$
  • 分量表示： $X_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{M}, \quad Y_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i y_i}{M}, \quad Z_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i z_i}{M}$
• 连续质量分布系统（积分形式）： $\mathbf{R}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int \mathbf{r} \, dm$

质心运动定理（Slide 51 & 53）#

$\mathbf{F}_{\text{net}} = \sum \mathbf{F}_i = M \frac{d^2 \mathbf{R}_{\text{cm}}}{dt^2} = M \mathbf{a}_{\text{cm}}$ 当 $\mathbf{F}_{\text{net}} = \mathbf{0}$ 时： $\mathbf{a}_{\text{cm}} = \mathbf{0} \implies \mathbf{v}_{\text{cm}} = \text{常数} \quad (\text{若初始静止，则 } \mathbf{R}_{\text{cm}} = \text{常数})$

质心运动定理与总动量（Slide 57）#

$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d^2(M\vec{R})}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dM\vec{R}}{dt}\right) = \frac{d M\vec{v}_{\text{CM}}}{dt} \implies \vec{P}_{\text{CM}} = \sum_{i=1}^N \vec{p}_i = M \vec{v}_{\text{CM}}$ 当 $\vec{F}_{\text{net}} = \vec{0}$ 时： $\frac{d\vec{P}_{\text{CM}}}{dt} = \vec{0} \implies \vec{v}_{\text{CM}} = \text{常数 (Constant)}$

船上人口袋/人在船上运动（Slide 59）#

无外力时 $\vec{P}_{\text{CM}} = \vec{P}_{\text{total}} = \vec{0} \implies m \vec{v}_0 + M \vec{v}_b = \vec{0}$： $v_b = -\frac{m v_0}{M}$

(负号表示船的退行方向与人的运动方向相反)

炮弹空中爆炸碎片落地点例题（Slide 64）#

• 已知： 炮弹原定落点离发射点距离为 $R$。在顶点/空中爆炸裂为 $m_1$ 和 $m_2$ 两块。碎片 $m_1$ 落于距离发射点 $x_1 = \frac{2R}{3}$ 处。
• 由质心位置不变 $x_{\text{CM}} = R$ 列式： $x_{\text{CM}}(m_1 + m_2) = m_1 x_1 + m_2 x_2 \implies R(m_1 + m_2) = m_1 \left(\frac{2R}{3}\right) + m_2 x_2$
• 解得碎片 $m_2$ 的落点坐标 $x_2$： $x_2 = R \left( 1 + \frac{m_1}{3m_2} \right) > R$
• 以质心为坐标原点时的分量形式： $0 = -m_1 x_1 + m_2 x_2 \implies x_1 = -\frac{R}{3}, \quad x_2 = +\frac{R m_1}{3 m_2}$

均匀圆柱体的质心（Slide 67 & 68）#

设圆柱体底面积为 $\pi a^2$，长度为 $L$，沿着轴线 $x$ 截取微元 $dx$：

• 微分质量：$dm = \rho \, dV = \rho \pi a^2 dx$
• $x$ 轴质心： $x_{\text{CM}} = \frac{1}{M} \int_0^L x \, dm = \frac{1}{M} \int_0^L x (\rho \pi a^2 dx) = \frac{\rho \pi a^2 L^2}{2 M} = \frac{L}{2} \quad \left(\text{因 } M = \rho \pi a^2 L\right)$
• 由对称性：$y_{\text{CM}} = 0, \quad z_{\text{CM}} = 0$

均匀半圆薄片（Half-Disk）的质心（Slide 70 & 71）#

• 微元面积与质量： $dA = 2x \, dy = 2\sqrt{a^2 - y^2} \, dy \implies dm = \rho t (2x \, dy)$
• 总质量与体积： $V = \frac{1}{2} \pi a^2 t \implies M = \rho V = \frac{1}{2} \rho \pi a^2 t$
• $y$ 轴质心积分： $y_{\text{CM}} = \frac{1}{M} \int_0^a y \, dm = \frac{1}{M} \int_0^a y \cdot \rho t (2\sqrt{a^2 - y^2}) \, dy = \frac{2\rho t}{M} \int_0^a y (a^2 - y^2)^{1/2} dy$ 代换积分求得： $y_{\text{CM}} = \frac{2\rho t}{M} \left[ -\frac{1}{3}(a^2 - y^2)^{3/2} \right]_0^a = \frac{2\rho t a^3}{3 M} = \frac{2\rho t a^3}{3 \left(\frac{1}{2}\rho \pi a^2 t\right)} = \frac{4a}{3\pi}$

变质量系统（火箭）动量守恒建立（Slide 72）#

• $t$ 时刻总动量： $p(t) = M v$
• $t + dt$ 时刻总动量（火箭质量变为 $M + dm$，气体质量为 $-dm > 0$）： $p(t+dt) = (M + dm)(v + dv) + (-dm) v_{\text{fuel}}$ 代入相对速度 $v_{\text{fuel}} = v + dv - v_{ex}$： $p(t+dt) = Mv + M dv + v dm + dm dv - dm(v + dv - v_{ex}) = Mv + M dv + v_{ex} dm$
• 由 $p(t) = p(t+dt)$ 得火箭运动微分方程： $M dv = -v_{ex} dm \quad (\text{因火箭质量减少，} dm < 0)$

水平推进（Horizontal Propulsion）动量守恒与速度方程（Slide 73 - 76）#

• 微分动量守恒方程： $m \, dv = -v_{ex} \, dm \implies \frac{dv}{dt} = -\frac{v_{ex}}{m(t)} \frac{dm}{dt}$
• 瞬时加速度（因 $\frac{dm}{dt} < 0$，加速度 $a > 0$）： $a = -\frac{v_{ex}}{m(t)} \frac{dm}{dt}$
• 积分求速度随时间变化关系 $v(t)$： $\int_{v_0}^{v(t)} dv = -v_{ex} \int_{m_0}^{m(t)} \frac{1}{m} \, dm \implies v(t) = v_0 + v_{ex} \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)$
• 燃料耗尽时的最终速度（从静止 $v_0 = 0$ 出发）： $v_{\text{final}} = v_{ex} \ln\left(\frac{m_0}{m_{\text{final}}}\right)$

竖直推进（Vertical Propulsion）动量定理与速度方程（Slide 77 - 80）#

• 动量定理（包含重力外力冲量 $-mg \, dt$）： $(mv + m \, dv + v_{ex} \, dm) - mv = -mg \, dt \implies m \, dv = -v_{ex} \, dm - mg \, dt$
• 竖直瞬时加速度： $a = \frac{dv}{dt} = -\frac{v_{ex}}{m(t)} \frac{dm}{dt} - g$
• 积分求竖直速度随时间变化关系 $v(t)$： $\int_{v_0}^{v(t)} dv = -v_{ex} \int_{m_0}^{m(t)} \frac{1}{m} \, dm - g \int_0^t dt$ $v(t) = v_0 + v_{ex} \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right) - gt$