Vp150 Ch. 10

动能定理与非保守力做功（Slide 4 & 5）#

动能定理展开式： $\Delta K = \sum W_i = W_c + W_{\text{nc}} = W_g + W_{\text{nc}}$ 代入重力做功与重力势能关系 $W_g = -\Delta U_g$： $\Delta K = -\Delta U_g + W_{\text{nc}} \implies W_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U_g = \Delta E$

• 结论： 非保守力做的功等于系统机械能的变化量（$W_{\text{nc}} = \Delta E$）。

含摩擦力/非保守力曲面下滑末速度公式（Slide 6）#

由 $\Delta U_g + \Delta K = W_{\text{nc}}$： $-mg y_1 + \frac{1}{2}m v_2^2 = W_{\text{nc}} \implies v_2 = \sqrt{2gR + \frac{2W_{\text{nc}}}{m}}$

• 因为摩擦做负功 $W_{\text{nc}} < 0$，所以末速度必定小于无摩擦时的速度（$v_2 < \sqrt{2gR}$）。

三维空间中重力做功的线积分推导（Slide 8 & 9）#

在直角坐标系中，设重力矢量为 $\vec{F}_g = (0, -mg, 0) = -mg\hat{\mathbf{y}}$，微元位移为 $d\vec{r} = dx\hat{\mathbf{i}} + dy\hat{\mathbf{j}} + dz\hat{\mathbf{k}}$：

• 微元点积： $\vec{F}_g \cdot d\vec{r} = (-mg\hat{\mathbf{y}}) \cdot (dx\hat{\mathbf{i}} + dy\hat{\mathbf{j}} + dz\hat{\mathbf{k}}) = -mg \, dy \quad (\text{因 } \hat{\mathbf{y}}\cdot\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{y}}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0, \hat{\mathbf{y}}\cdot\hat{\mathbf{y}} = 1)$
• 全路径线积分： $W_g = \int_{A}^{B} \vec{F}_g \cdot d\vec{r} = \int_{y_A}^{y_B} (-mg) dy = -(mgy_B - mgy_A)$ $W_g = -\Delta U_{g,AB} = -(U_B - U_A)$

保守力的闭合环路积分定义（Slide 11 & 12）#

对任意保守力 $\mathbf{F}$： $W_{\text{closed}} = \oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0 \iff \Delta U = 0$

• 重力环路证明（从 $A \to B$ 再由原路或另路返回 $B \to A$）： $W_{g,\text{closed}} = \int_A^B \mathbf{F}_g \cdot d\mathbf{r} + \int_B^A \mathbf{F}_g \cdot d\mathbf{r} = -(mgy_B - mgy_A) - (mgy_A - mgy_B) = 0$

洛伦兹力不满足保守力条件（Slide 13）#

电磁学中的洛伦兹力： $\mathbf{F}_{\text{Lorentz}} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ 由于含有速度项 $\mathbf{v}$，力依赖于运动速度（Speed and Direction），因此洛伦兹力是非保守力。 (注：库仑力 $F \propto 1/r^2$ 和弹簧弹力 $F = -kx$ 仅依赖于位置，均为保守力)。

二维力 $\mathbf{F} = x\hat{\mathbf{i}} + y\hat{\mathbf{j}}$ 沿矩形闭合路径做功证明（Slide 14）#

将闭合路径分为四段：

1. 段 1（$(0,0) \to (0,b)$，沿 $y$ 轴）： $d\mathbf{r} = (0, dy) \implies W_1 = \int_0^b y dy$
2. 段 2（$(0,b) \to (a,b)$，平行 $x$ 轴）： $d\mathbf{r} = (dx, 0) \implies W_2 = \int_0^a x dx$
3. 段 3（$(a,b) \to (a,0)$，向下）： $d\mathbf{r} = (0, -dy) \implies W_3 = \int_b^0 y dy = -\int_0^b y dy$
4. 段 4（$(a,0) \to (0,0)$，向左）： $d\mathbf{r} = (-dx, 0) \implies W_4 = \int_a^0 x dx = -\int_0^a x dx$

• 总功（代数和）： $W = \oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^b y dy + \int_0^a x dx - \int_0^b y dy - \int_0^a x dx = 0$

沿对角线路径计算二维力 $\mathbf{F} = x\hat{\mathbf{i}} + y\hat{\mathbf{j}}$ 做功（Slide 15）#

• 对角线轨迹约束： 直线方程为 $y = \frac{b}{a}x \implies dy = \frac{b}{a}dx$
• 位移微元与点积： $d\mathbf{r} = dx\hat{\mathbf{i}} + dy\hat{\mathbf{j}} = dx\hat{\mathbf{i}} + \left(\frac{b}{a}dx\right)\hat{\mathbf{j}}$ $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = x\,dx + y\left(\frac{b}{a}dx\right) = x\,dx + \left(\frac{b}{a}x\right)\left(\frac{b}{a}dx\right) = x\left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right)dx$
• 对 $x$ 积分（从 $0$ 到 $a$）： $W = \int_{0}^{a} x\left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) dx = \left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a = \left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 + b^2}{2}$

简谐振动（SHO）机械能推导（Slide 24 & 26）#

代入 SHO 运动学方程 $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ 与 $\dot{x}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)$： $E(t) = U_{\text{el}}(t) + K(t) = \frac{1}{2} k x(t)^2 + \frac{1}{2} m \dot{x}(t)^2$ 代入 $\omega^2 = \frac{k}{m} \implies m\omega^2 = k$： $E(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2 + \sin^2)$ $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = \text{常数 (Constant)}$

组合系统的机械能守恒方程（Slide 28 & 29）#

$\Delta U_{\text{el}} + \Delta U_g + \Delta K = 0 \implies E = U_{\text{el}} + U_g + K = \text{常数}$ 在非保守力存在时（Slide 29）： $\Delta U_{\text{el}} + \Delta U_g + \Delta K = W_{\text{nc}}$

块体自由落体撞击弹簧最大压缩量 $x$ 求解（Slide 31 & 32）#

选最大压缩点为重力势能零点，全过程 $\Delta K = 0$： $\frac{1}{2} k x^2 - mg(h + x) = 0 \implies x^2 - \frac{2mg}{k}x - \frac{2mgh}{k} = 0$ 解一元二次方程取物理上有意义的正根： $x = \frac{mg}{k} + \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgh}{k}}$

振动平衡位置 $x_0$ 与振幅 $A$ 的求解（Slide 33 & 34）#

• 平衡位置（受力平衡）： $kx_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{k}$
• 振幅 $A$： $A = x - x_0 = \left[\frac{mg}{k} + \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgh}{k}}\right] - \frac{mg}{k} = \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgh}{k}}$

存在摩擦力时的动能与势能表达（Slide 38 - 40）#

$\Delta K + \Delta U = (K_2 + U_2) - (K_1 + U_1) = \int_{x_1}^{x_2} F_{\text{friction}}(x) dx = W_{\text{nc}}$

• 从右侧最大位移 $A$ 释放向左运动到左侧最大位移 $A'$（Slide 40）：
  • 初始端点 $A$ 与末端点 $A'$ 处动能均为零（$K_1 = K_2 = 0$）；
  • 滑动摩擦力为常数 $F_{\text{friction}} = -\mu_k mg$，全程路程为 $A + A'$： $\frac{1}{2} k {A'}^2 - \frac{1}{2} k A^2 = -\mu_k mg (A + A')$
  • 利用 $A^2 - {A'}^2 = (A - A')(A + A')$ 约去 $(A + A')$ 项： $\frac{1}{2} k (A - A') = \mu_k mg \implies A' = A - \frac{2\mu_k mg}{k}$

广义能量守恒与热能（Slide 42）#

$dW_{\text{nc}} = -dE_{\text{int}} = d(K + U)$ $\Delta E_{\text{int}} + \Delta(K + U) = 0 \implies Q = \Delta E_{\text{int}} = -W_{\text{nc}}$

一维与三维势能求力公式（Slide 44 & 48）#

• 一维形式： $F_x = -\frac{dU}{dx}$
• 三维算子与负梯度形式： $\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{\mathbf{i}} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{\mathbf{j}} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}$ $\mathbf{F}(x,y,z) = -\nabla U(x,y,z) = -\frac{\partial U}{\partial x}\hat{\mathbf{i}} - \frac{\partial U}{\partial y}\hat{\mathbf{j}} - \frac{\partial U}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}$

平衡点 $x_0$ 附近的泰勒展开近似（Slide 52 & 53）#

因 $U'(x_0) = 0$，保留到二次项： $U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2} U''(x_0)(x - x_0)^2$

坐标归零化与谐振势能形式（Slide 54）#

设平衡点位置为坐标原点 $x_0 = 0$，且取平衡点势能 $U(x_0) = 0$： $U(x) \approx \frac{1}{2} U''(0) x^2$

等效回复力与等效劲度系数（Slide 54）#

• 对势能求导得到回复力： $F(x) \approx -\frac{\partial U(x)}{\partial x} = -U''(0)x = -kx$
• 等效劲度系数定义： $k = U''(x_0) = \left. \frac{d^2U(x)}{dx^2} \right\vert{}_{x = x_0}$
• 对应简谐势能表达式： $U_{\text{el}}(x) = \frac{1}{2} k x^2$